复变函数

一、定义是什么

假设存在一个复数的集合E，并且E中所有点z=x+iy，按照一定的规律法则，有确定的复数w=u+iv与之对应，则称w为z的复变函数，记作w=f(z)。

在这里，自变量、因变量都是复数，而不是我们常见的实数。

(资料图)

二、几何意义

常见的单实变函数，可以表示成一条平面上的曲线，而它的导数是该曲线切线的斜率。

对于单复变函数w=f（z），自变量z包含两个实变量x和y，因变量w也包含了两个实变量u和v，此时一共有x、y、u、v，4个变量，在三维空间中难以将其表示出来。因此，我们常用两个平面，通过映射的方式来描述复变函数的几何意义。

比方说这里有一个简单的映射：w=z²

我们可以看到，当z上的点映射到w上时，其模平方而辐角加倍。

三、初等函数

现在来研究具体的复变函数。最简单的便是多项式和有理函数，具体如下

值得一提的是，当x=0时，它就是欧拉公式。并且这里有几个性质：指数型复变函数在整个复平面上都没有零点，犹如实指数函数，并且其以2Πi为周期。

注意这里sinz和cosz都具有周期2Π，并且他们的模是可以大于1的！！！

我们由此亦可知，对于任意的复数z，欧拉公式仍然成立（把θ换成z即可），且cosz是偶函数，sinz是奇函数，它们的平方和仍然等于1，即满足常见的三角关系式。

我们可以由此继续定义其他复变三角函数，例如tanz等，不再赘述。

从复变函数的意义上来说，双曲函数与三角函数基本上是一个变量代换，z→iz

这里lnz有无限多个值，并且z可以取负实数，仍然具有意义，至于为什么呢，因为

四、极限及连续性

E上的某一区域内定义了一个函数w=f（z），如果自变量z在这个区域内以任何方式趋于区域上一点z0时，f（z）都以f（z0）为极限，则称f（z）在z0连续。这里注意定义即可

补充关于极限运算关系的表示：

简单例题

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